但し、同じ日に複数の投稿はしないように決めている。投稿も量より質の精神である。だから、その日に関連したテーマは書きかけでも日付が変わらない内に投稿して、後から修正したり追加したりすることも度々ある。投稿後に内容が倍以上に膨れ上がったこともある。そういう事情なので、投稿後の何日かは変更される可能性があると思って頂きたい。
さて、昨日(ああ、投稿が2分遅れて今朝と言えなくなった)の新聞に今度はセンター試験の数学ⅡBで出題ミスがあったと報じられた。選択肢に正解が2つあるというミスで、19日に受験生らから問い合わせがあり発覚した、と書いてある。掛け算さえ分かる人ならこの問題の出題ミスに関する部分だけなら簡単に解けるので、暫く付き合って頂きたい。
その問題を出題ミスに関係する部分だけ抜き出すと、こうなる。
自然数nに対し、2^nの一の位の数をa_nとする。 ("^n"はn乗、"_n"は数列のn番目を表す。)
a_1=2、a_2={ア}、a_3={イ}、a_4={ウ}、a_5={エ}である。
このことから、すべての自然数nに対して、a_{オ}=a_nとなることがわかる。
{オ}に当てはまるものを、次のうちから１つ選べ。
(0) 5n、(1) 4n+1、(2) n+3、(3) n+4、(4) n+5これの解答は以下のようになる。
2掛ける2=4だから{ア}は4、4掛ける2=8だから{イ}は8、8掛ける2=16だから{ウ}は6、一の位のみ計算すれば良いので16ではなく、6掛ける2=12だから{エ}は2、となる。
これで元の値に戻ってきた訳で、a_6ならa_2に等しくなることはもう計算しなくても分かる。つまりnが4つ先なら同じ値になる訳だから{オ}は(3)である。しかし、nが8つ先でも同じであり、一般的に4の倍数だけ先なら全て同じ値になる訳だから、0以上の整数mとして{オ}は一般に n+4m の形に表すことができる。
ここで、5n=n+4n であることを考えると、{オ}は(0)でも良いことが分かる。つまり、(0)は m=n とした場合で、(3)は m=1 とした場合だったのだ。
まあ普通の受験生なら{オ}は(3)にするだろうな。後の問題を解くのにこの方が流れがいいから。世界史Bの出題ミスとは違って受験生を悩ますことはないと思う。しかし、出来る受験生ならグルグル回っても同じ値って考えは三角関数で慣れていて選択肢を見る前に頭の中で n+4m の形の解を予想しているはずだから、あれっ、(0)も正解じゃね?と思ったかも。
しかし、である。大学入試センターが選択肢(0)も正解としたことで、何とか日本の数学教育は救われた。もし、数学的には全く正しい選択肢(0)が「問題の意図と異なるため不正解にする。」なんて事になったら、これはもう数学を題材とした国語の試験としか言えないのだ。
何で出題ミスをしちゃったんだろう。正解以外は受験生を惑わすように一見正しいような選択肢を用意しなくっちゃいけないんだけど。きっと問題を作った数学者達は正解については一生懸命になれるんだけど、嘘の選択肢についてはそこまで情熱を注げないんじゃないかな。テキトーに作って失敗。